虚数i的运算公式及应用（虚数i的定义）

高中数学里常见的虚数和虚数单位“i”的运算公式为：

（1）i^2=-1。

（2）(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2。

一、虚数单位“i”的由来

为了解决“x^2+1=0”这个方程在实数范围内无解的问题，我们引入了一个新数“i”(“i”常被称为虚数单位)，使得“x=i”是方程“x^2+1=0”的解。

把“i”代入方程x^2+1=0”中，并整理可得：i^2=-1。

“i^2=-1”可以说是虚数运算中的一个最重要的公式。它不但包含着虚数单位“i”的由来，同时也是在虚数乘、除运算化简过程中的一个重要依据。

二、虚数、虚数单位“i”的相关运算公式

复数可以分为实数和虚数。虚数指的是复数中满足“a+bi（a,b∈R，且b≠0）”的数。虚数最明显的特点就是都有“i”，并且“i”的系数b≠0。

1、虚数的运算公式

（1）加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

【注】a、b、c、d∈R，下同。

（2）减法

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

（3）乘法

(a+bi)(c+di)=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)i^2

=ac+(ad)i+(bc)i-(bd)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

【注】按多项式乘法展开后，注意到“i^2=-1”,所以“(bd)i^2”等于“-bd”。

要想快速、熟练地掌握虚数的乘法，只需把虚数乘法看成多项式乘法，然后按多项式乘法法则展开，最后注意“i^2=-1”的替换。

（4）除法

(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)/(c+di)

=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)。

【注】分母c+di≠0.复数的除法运算，常常先把除式化为分式形式后，再进行化简。

要想快速、熟练地掌握虚数的除法，只需先把“除式”化成“分式”，然后在掌握分母实数化方法（即“(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2”）的前提下进行等价变形和化简。

2、虚数单位“i”的运算公式

（1）i^2=(-i)^2=-1；i^3=-i；i^4=1。

（2）i^(4n)=1；i^(4n+1)=i；i^(4n+2)=-1；i^(4n+3)=-i。

3、常用公式

（1）i^2=(-i)^2=-1；

（2）(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2。

（3）复数（或虚数）相等：a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d同时成立。

三、课外拓展——数系的扩充过程

回想历次数系扩充的过程我们不难发现，从小学到高中为止我们大致经历了以下几次的数系扩充。

1、接触到正整数和自然数范围之外的负整数后，我们把“数”的范围扩充到了全体整数范围。

2、接触到分数后，我们把全体整数的范围扩充到了有理数范围。

3、接触到“根号2”、“π”这样的无理数后，我们把有理数范围扩充到了实数范围。

4、接触到虚数单位“i”后，我在解决方程“x^2+1=0”的解的问题的同时，也把实数范围扩充到了“复数”范围。