进入中学后,数系扩大到有理数,随着负数的引入,相反数和绝对值进入课本也就顺理成章了。绝对值是中学数学的一个重要概念,也是七年级的学习难点之一。下面我们来谈谈绝对值的定义和化简,以及相关例题的精解。
开场故事:一场激烈的辩论会
小学数学和具体的数打交道,进入中学后开始接触用字母代替数。这不仅增加了一层抽象程度,还让一些同学感觉不适应。
初一(14)班的小李同学问小王:“-a是负数吗?”
小王回答说:“是负数,因为a前面有个-号。”
旁边的小张说:“不一定是负数,因为字母a可以是任何数,如果a是负数的话,那么-a就是正数了,所以-a是负数或正数。”
另一旁的小杨插话了,他说:“如果a是零呢?”
大家“啊!”地一声,小李激动了,大声说:“-a到底是什么数?怎么回答?”大家议论纷纷。
班上的数学科代表小周站起来,他慢条斯理地说:“其实-a到底是什么数,大家辩论得差不多了,只是如何准确地表达的问题。”
如果用文字语言来回答,应该是:
当a为正数时,-a为负数;
当a为负数时,-a为正数;
当a为0时,-a为0。
如果用数学符号语言来表述,则是:
当a>0时,-a<0;
当a<0时,-a>0;
当a=0时,-a=0.
小周的总结非常正确。小周在这里使用了“穷举法”。所谓穷举法,就是在讨论一个问题时,把所有可能的情况都一一列举出来,一个不重,一个不漏,然后对各种情况逐一分析,去掉不合条件的,留下符合条件的,最后作出结论。这是一种重要的数学思想方法——分类讨论的思想方法。这种思想方法贯穿于初中、高中和大学的学习当中,希望同学们能引起足够的重视。
绝对值的定义
在一次数学测验中,试卷里有这样一道填空题:若|a|=-a,则a____0.
小李同学填的是“<”号,即a<0.评卷的老师在这个答案的后面打了一个“✘”,并扣了分。卷子发下来,小李同学一看,认为是老师批改错了,就去找数学陈老师,说:
图一
图二
这是绝对值的定义,写得明明白白,a<0时,
|a|=-a,我怎么会错呢?
数学陈老师说:这两个公式都没错,是绝对值的定义。绝对值记作|a|,这个公式,即|a|的表达式,符合一个不重,一个不漏的原则,但是用起来却很容易出差错。
由|a|=-a,应该得出a≤0,因为a=0也符合条件,如果只得出a<0,就漏掉了一个a=0,当然是不对的。这个知识点,有一次全国初中数学竞赛还考过。同理,由|a|=a,应该得出a≥0,而不是a>0.
但是,如果绝对值这样定义:
图三
又是不合理的!为什么不合理?因为a=0重复了两次!违反了“不重不漏”的原则。
总结:老师的批改没有错。我们应从小李同学的错误答案中吸取教训,答题时应该认真、细致、全面地考虑问题。
让我们再重温一下绝对值的定义。
图一和图二是三分支和两分支表述的代数定义。
也请同学们理解:
若|a|=a,则a≥0,
若|a|=-a,则a≤0.
用文字语言定义:
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
绝对值的几何定义:在数轴上表示一个数的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值。
上面关于绝对值的定义蕴含着下面几个重要的结论:
(1)任何有理数的绝对值都是非负数,即
|a|≥0;
(2)两个绝对值相等的数,它们或者相等,或者互为相反数,即|a|=|b|,那么a=b或a=-b;
(3)一个数的绝对值是它本身,这个数必定是非负数,即如果若|a|=a,那么a≥0;
一个数的绝对值是它的相反数,这个数必定是非正数,即如果|a|=-a,那么a≤0.
(4)绝对值为0的数,只有0自身。即如果|a|=0,那么a=0.
这些结论在解决与绝对值有关的问题时,非常有用。
绝对值化简
其实,上面说的绝对值的概念和定义,已经包含了绝对值化简的方法。
在去掉绝对值符号时,我们需要判断是否变号。举个例子:
|a-b|=a-b,(a-b)≥0;
|a-b|=-(a-b)=b-a,(a-b)<0.
遇到绝对值符合里面有字母的时候,一定要分类讨论,非负性是绝对值的重要性质,所以在去掉绝对值符号时,要保证每一个绝对值都不是负数。下面请看例题:
计算|1-a|+|2a+1|+|a|的值(其中a<-2)。
∵|1-a|=1-a>0;
|2a+1|=-(2a+1)>0;
|a|=-a>0.
∴原式=1-a-2a-1-a
=-4a.
把题目改一下,去掉a<-2的限制,你还会不会做呢?
题目虽然变复杂了,但是牢记绝对值的非负性,完全可以做对。解题思路是先分类讨论,再综合在一起得到答案。
具体解法是先求出使绝对值等于0的a值,即找零点,几个零点把数轴分为几段再分类讨论。这就是零点分段法。最后再综合起来写出答案。
本题有3个零点,它们是-1/2,0,1。
∵当a<-1/2时,原式=1-a-(2a+1)-a
=1-a-2a-1-a=-4a
当-1/2≤a<0时,原式=1-a+2a+1-a
=2;
当0≤a<1时,原式=1-a+2a+1+a
=2a+2;
当a≥1时,原式=a-1+2a+1+a
=4a.
∴
运用题设中的隐含条件
例1 已知:|x-2|+x-2=0,求:x+2的最大值。
因为|x-2|+x-2=0,所以|x-2|=-(x-2),根据绝对值的概念,一个数的绝对值等于它的相反数时,这个数为负数或零,所以x-2≤0,即x≤2,这表示x的最大值为2,所以x+2的最大值为4。
利用数轴获取信息
例2 有理数a,b、c在数轴上的位置如图1所示,化简|a|+ |b|+|a+b|+|b-c|式子。
图一
观察数轴可知a<0,c>b>0,且|c|>|b|>|a|,则a+b>0,b-c<0, 所以
原式=-a+b+a+b-b+c=b+c
最后一道难题
遇到难题的慌张
例3 化简||x-1|-2|+|x+1|
这道题有点难,有的同学完全不会做。
有句话叫“难者不会,会者不难”。
明朝数学家程大位说过:“难者,难也。然似难而实非难也。……,其难题唯在乎立法,立法既明,则迎刃而破,又何难之有哉。”
找到解题方法,就不难了。
题目有三个绝对值,先确定零点值,再用零点分段法分类讨论。双层绝对值就分步骤去绝对值符号。
题目有三个零点,即-1,1,3,这三个点把数轴分为四段,分段讨论。
解:
(1)当X<-1时,
原式=|1-x-2|-X-1
=|-X-1|-X-1
=-X-1-X-1
=-2X-2
(2)当1>X ≥-1时,
原式=|1-X-2|+X+1
=|-X-1|+X+1
=X+1+X+1
=2X+2
(3)当3>X≥1时,
原式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=3-X+X+1
=4
(4)当X≥3时,
原式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=X-3+X+1
=2X-2
综上所述,绝对值在初中数学中有着重要地位,贯穿于整个初中代数、几何的各个角落。绝对值是重要的数学基础知识,蕴含了丰富的数学思想和方法,如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想等,应当引起足够的重视。